Escuela Secundaria Of. No. 5 Anexa a la ENSEM

Matemáticas



Bienvenido!!!

Estudiante:

Te doy la bienvenida, este espacio fué creado para continuar con tu instrucción acerca de "El Plano Cartesiano y Funciones" y contiene la información referente a la sesión del Sistema de Coordenadas en el que encontrarás datos que te permitirán identificar el concepto, elementos y graficación en un sistema de coordenadas.

Esta página contiene los siguientes apartados:
  • Introducción
  • Sistema de Coordenadas
  • Elementos del Sistema de Coordenadas.
  • Coordenadas de un punto
  • Grafica de funciones
Te sugiero que recorras en orden éstos apartados para que al finalizar, contestes las preguntas que se listan y las incluyas como comentario.


Introducción

El Sistema de Coordenadas también conocido como Sistema de Referencia Cartesiano es uno de los más empleados para la elaboración de múltiples tipos de gráficos en dos y tres dimensiones.

Al momento de elaborar una gráfica nuestra primera necesidad es contar con un sistema de referencia que nos permita orientarnos en el espacio. Este condicional ha conducido a confeccionar desde tiempos muy remotos múltiples sistemas de referencia.
Históricamente uno de los sistemas de referencia que con mayor frecuencia utilizado es el Sistema de Referencia Cartesiano, el cual debe su nombre a René Descartes filósofo y matemático francés del siglo XVII al que se le atribuye su invención, a pesar de que la idea de este sistema fue desarrollada en 1637 de forma paralela e independiente en dos escritos diferentes, uno perteneciente a Descartes y otro atribuido a Pierre de Fermat.

Una de las aplicaciones más comunes del plano cartesiano es para representar de manera gráfica las diferentes ecuaciones que se nos dan en los cursos de matemáticas, también es muy utilizado en la resolución de problemas de física en los cuales se debe esquematizar cómo está afectando una fuerza a un objeto en el plano cartesiano.

En este espacio te introducirás en el tema del Plano cartesiano en el que conocerás el concepto, elementos, características, puntos y funciones en el sistema de coordendas.

Sistema de referencia

Para ubicar una posición en particular, se precisa de un punto de referencia y asociar dos elementos en un cierto orden.

Un avión cuando vuela requiere enviar a la torre de control información sobre la latitud, la longitud y la altura donde se encuentra. Para poder organizar los productos en un supermercado, precisamos conocer el pasillo, el anaquel y el estante. En todas estas situaciones para ubicar una posición en particular, se precisa de un punto de referencia y asociar tres elementos en un cierto orden.


En muchas situaciones cotidianas requerimos de una ubicación en una línea recta. Si estamos en la esquina de 16 de septiembre e Independencia en la Ciudad de Toluca, y deseamos movilizarnos a la esquina de Juárez, debemos caminar una cuadra a la izquierda. Si queremos ir a la esquina de Ignacio López Rayón, tenemos que caminar una cuadra hacia la derecha.


En estas situaciones, en realidad lo que estamos haciendo es tomar un sistema de referencia en una recta (vertical u horizontal), donde fijamos un punto de origen y luego consideramos direcciones: derecha o izquierda; hacia arriba o hacia abajo; y una “unidad de medida”, como es el caso de la cuadra (100 m aproximadamente).

Sistema de coordenadas

Conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un punto denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de cualquier punto constituyen lo que se denomina sistema de referencia.


Tipos de Sistemas de coordenadas

Sistema de coordenadas cartesianas

Formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones de la distancia entre el punto y el origen sobre cada uno de los ejes.

Sistema de coordenadas polares

Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.

Coordenadas cilíndricas

Generalización del sistema de coordenadas polares plano, al que se añade un tercer eje de referencia perpendicular a los otros dos.


Coordenadas esféricas

Sistema de coordenadas formado por dos ejes mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos, los ángulos que es necesario girar sucesivamente, en planos mutuamente perpendiculares, el eje inicial para alcanzar la posición del punto.

El presente curso esta enfocado al Sistema de Coordenadas Cartesiano en dos dimensiones.

Elementos del Sistema de Coordenadas

El plano cartesiano está compuesto por dos ejes, uno horizontal y uno vertical . La unión de estos dos ejes es llamado “origen”.Al momento de unir estos dos ejes, se forman 4 áreas en el plano cartesiano, cada una de ellas es llamada cuadrante y se numeran en sentido contrario a las manecilla del reloj,  con números romanos.

Una abscisa (del latin abscissa, "cortada") es la coordenada horizontal en el plano cartesiano, el eje de las abscisas es el eje horizontal, se le denomina como 'x'; por otra parte, la coordenada vertical del plano cartesiano es denominada ordenada, se le denomina como 'y'.En el plano vamos a representar los pares ordenados o puntos, los cuales están constituidos por un valor de “x” y un valor de “y”, siendo la nomenclatura (o forma como se escribe) de la siguiente manera (x,y).


Si nos movemos sobre el eje de las “x” hacia la derecha del origen los valores son “POSITIVOS”, si se mueve a la izquierda del origen sobre el eje de las “x” los valores son “NEGATIVOS”; al moverse sobre el eje de las “y” hacia arriba del origen los valores son “POSITIVOS”, si se mueve sobre el eje de las “y” hacia abajo del origen los valores son “NEGATIVOS”.

Coordenadas de un punto


Si imaginamos un punto P situado en el Plano definido por el Sistema de Coordenadas ¿Cómo podemos establecer con precisión la ubicación de P en el Plano? Una forma es asociar cada punto con un par ordenado (a, b), donde la primera componente, a, está relacionada con el eje x,  mientras que la segunda componente, b, se relaciona con el eje y.

De lo dicho anteriormente, puede deducirse lo siguiente:



A cada punto P del Plano, le corresponde un par ordenado.
  1. Dado un par ordenado (a, b) en el plano, existe sólo un punto con esas coordenadas.
Al punto P se le puede representar simbólicamente como P(x, y), donde "x" y "y" son las abscisas y la ordenada de P. Así, por ejemplo, podemos escribir:
El punto P(2,3) 


 En una hoja de papel milimétrico, divide la cuadrícula a la mitad (horizontalmente y verticalmente), en la intersección marca el origen y determina la ubicación en un Plano Cartesiano de los siguientes puntos:
P1(3, 2) P2(-2, -4) P3(-3, 3) P4(1, -2)



Puedes observar este link para observar el movimiento de un punto:

Gráfica de una función

Una función es una relación donde a cada elemento del primer conjunto 'x', le corresponde uno y solo uno del segundo elemento 'y'. Las funciones se denotan de la siguiente manera: f(x), F(x), Q(r), S(t), etcétera.


Da click aquí para recordar acerca de las funciones.


Cada función puede representarse en el Plano Cartesiano a través de una gráfica, ésta se podrá obtener dando valores a la variable independiente 'x' y sustituyéndolos en la regla de correspondencia para obtener el valor de la variable dependiente 'y'.


Como ejemplo tenemos la función f(x)= -2x+5 , tabulamos los resultados

Para x=1, y = -2(1)+5 = -2+5 = 3
Para x=2, y= - 2(2)+5 = -4+5 = 1
Para x=3, y= - 2(3)+5 = -6+5 =
-1Para x=4, y = - 2(4)+5 = -8+5 = -3
Para x= 5, y= -2(5)+5 = -10+5 = -5



La unión de los puntos nos indica que la función correponde a una línea recta, así mismo podemos graficar cónicas, tema que veremos en las sesiones subsecuentes.


PREGUNTAS

A continuación se listan tres preguntas a las que solicito des respuesta de manera clara y precisa en la opción de comentarios. 

1. ¿Has utilizado el Plano cartesiano para dar respuesta a una situación de la vida real?
2. Menciona al menos un ejemplo de la vida cotidiana en que te pueda ser útil la graficación de funciones
3. ¿Te ha resultado interesante el contenido del blog? ¿Porqué?